Question

设函数y=f（x）是定义在R⁺上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

3

）=1，
（1）求f（1）的值． 
（2）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（xy）=f（x）+f（y）对于任意的x，y都成立，利用赋值法：令x=y=1即可求解； 
（2）利用赋值法可得f（

1

9

）=2，然后结合f（xy）=f（x）+f（y），转化已知不等式f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜2=f（

1

9

），最后根据单调性从而求出所求．

解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）对于任意的x，y都成立，
∴令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（2）∵f（

1

3

）=1
∴f（

1

9

）=f（

1

3

×

1

3

）=f（

1

3

）+f（

1

3

）=2，
∴f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜2=f（

1

9

），
∵y=f（x）是定义在R⁺上的减函数，
∴

x(2-x)＞ 1 9 x＞0 2-x＞0

，
解之得：x∈（1-

2 2

3

，1+

2 2

3

），
∴x的取值范围是（1-

2 2

3

，1+

2 2

3

）．

点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，及利用函数的单调性求解不等式，属于函数知识的综合应用，属于中档题．