Question

如图，过点B（0，-b）作椭圆+=1(a＞b＞0)的弦，求这些弦长的最大值.

Answer 1

解：设M（x,y）是椭圆上任一点.

|BM|²=x²+(y+b)²=x²+y²+2by+b²,

由+=1,有x²=(b²-y²).

将其代入上式，整理，然后配方有

|BM|²=(1-)y²+2by+(a²+b²)=(1-)·（y-）²+.

∵-b≤y≤b,

(1)当b≤c(即b≤a)时，≤b,∴y=时，|BM|的最大值为;

(2)当b＞c(b＞a)时，＞b,故y=b时，点M在（0，b），即y轴上之顶点位置，|BM|²的最大值为（1-）(b-)²+=4b².

∴|BM|的最大值为2b.