Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sin x是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求a的值及λ的范围．
（2）讨论关于x的方程

lnx

f(x)

=x²-2ex+m的根的个数．

Answer 1

（1）∵f（x）是在R上的奇函数，∴f（0）=0，∴ln（1+a）=0，∴a=0．
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴x∈[-1，1]时，g′（x）=λ+cos x≤0恒成立
∴λ≤-1，
（2）由（1）知f（x）=x，∴方程为

lnx

x

=x²-2ex+m，
令f₁（x）=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m，
∵f′₁（x）=

1-lnx

x2

当x∈（0，e）时，f′₁（x）＞0，∴f₁（x）在（0，e]上为增函数；
当x∈（e，+∞）时，f′₁（x）＜0，∴f₁（x）在（e，+∞）上为减函数；
∴当x=e时，[f₁（x）]_max=f₁（e）=

1

e

．
而f₂（x）=（x-e）²+m-e²
∴当m-e²＞

1

e

时，即m＞e²+

1

e

时方程无解．
当m-e²=

1

e

时，即m=e²+

1

e

时方程有一解．
当m-e²＜

1

e

时，即m＜e²+

1

e

时方程有两解．