Question

设向量

a

=(sinα，1-cosα)，

b

=(sinβ，1+cosβ)，

c

=(0，1)，角α∈（0，π），β∈（π，2π），若

a

与

c

的夹角为θ1，

b

与

c

的夹角为θ2，且θ1-θ2=

π

3

，求tan（α-β）的值．

Answer 1

分析：利用两个向量的数量积的定义和两个向量数量积公式，求出cosθ1=cos(

π

2

-

α

2

)，cosθ2=cos(π-

β

2

)，再根据
 角的范围求得θ1=

π

2

-

α

2

，θ2=π-

β

2

，由此进一步求得

α-β

2

=-

5π

6

，从而求出tan

α-β

2

 的值，再由二倍角
公式求出tan（α-β）的值．

解答：解：∵

a

=(sinα，1-cosα)，

b

=(sinβ，1+cosβ)，

c

=(0，1)，角α∈（0，π），β∈（π，2π），
故有 |

a

|=

sin2α+(1-cosα)2

=

2(1-cosα)

=2sin

α

2

． |

b

|=

sin2β+(1+cosβ)2

=

2(1+cosβ)

=-2cos

β

2

．
又由两个向量的数量积的定义可得

a

•

c

=1-cosα=2sin2

α

2

，

b

•

c

=1+cosβ=2cos2

β

2

．
又 |

c

|=1，∴cosθ1=

a • c

| a |•| c |

=sin

α

2

，cosθ2=

b • c

| b |•| c |

=-cos

β

2

，
即cosθ1=cos(

π

2

-

α

2

)，cosθ2=cos(π-

β

2

)，
∵θ₁、θ₂∈（0，π），

π

2

-

α

2

∈(0，

π

2

)，π-

β

2

∈(0，

π

2

)，
∴θ1=

π

2

-

α

2

，θ2=π-

β

2

．
∵θ1-θ2=

π

3

，∴(

π

2

-

α

2

)-(π-

β

2

)=

π

3

，∴

α-β

2

=-

5π

6

，
∴tan

α-β

2

=tan(-

5π

6

)=tan

π

6

=

3

3

，
∴tan(α-β)=

2tan α-β 2

1-tan2 α-β 2

=

2× 3 3

1- 1 3

=

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积公式，以及二倍角公式、诱导公式的应用，求出

α-β

2

=-

5π

6

，是解题的关键和难点，属于中档题．