Question

【题目】已知数列{an}中，a1=3，n（an+1﹣an）=an+1，n∈N*若对于任意的a∈[﹣1，1]，n∈N* ， 不等式 ﹣2at+1恒成立，则实数t的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞,﹣3]∪[3,+∞）
【解析】解：∵n（an+1﹣an）=an+1，

∴ ﹣ = = ．

∴ = + +…+ +a1

= + +…+ +3

=1﹣ +3（n=1时也成立）．

∴不等式 ﹣2at+1化为：4﹣ ＜t2﹣2at+1，

∵对于任意的a∈[﹣1，1]，n∈N*，不等式 ﹣2at+1恒成立，

∴t2﹣2at+1≥4，

化为：t2﹣2at﹣3≥0，

t≠0，t＞0时，a≤ ，可得1≤ ，化为t2﹣2t﹣3≥0，t＞0，解得t≥3．

t＜0时，a≥ ，可得﹣1≥ ，化为t2+2t﹣3≥0，t＜0，解得t≤﹣3．

则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．

故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．

n（an+1﹣an）=an+1，化为： ﹣ = = ．利用 = + +…+ +a1

可得 ，不等式 ﹣2at+1化为：4﹣ ＜t2﹣2at+1，根据对于任意的a∈[﹣1，1]，n∈N*，不等式 ﹣2at+1恒成立，可得t2﹣2at+1≥4，化为：t2﹣2at﹣3≥0，对t分类讨论即可得出．