Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a1=

4

3

，an+1=3Sn，n∈N^*，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n+1，求数列{b_n}的前n项和为T_n；
（3）令cn=

1

Tn

，数列{c_n}的前n项和为U_n，试求最小的集合[a，b），使U_n∈[a，b）．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=3S_n①，得a_n=S_n-1（n≥2）②，两式相减可得递推式，由递推式可判断数列{a_n}从第二项起构成等比数列，从而可求得a_n；
（2）由（1）得b_n，根据由b_n可判断数列{b_n}为等差数列，利用求和公式可求T_n；
（3）由（2）可求得c_n，利用裂项相消法可求得U_n，根据U_n的单调性可求得U_n的范围，由其范围可得最小的[a，b）；

解答：解：（1）由a_n+1=3S_n①，得a_n=S_n-1（n≥2）②，
①-②得，a_n+1-a_n=3a_n，即a_n+1=4a_n（n≥2），
又a₂=3S₁=3×

4

3

=4，4a₁=

16

3

，
∴数列{a_n}从第二项起构成等比数列，公比为4，
∴an=a2•4n-2=4•4n-2=4^n-1（n≥2），
∴an=

4 3 ，n=1 4n-1，n≥2

；
（2）由（1）得，b_n=log₂a_n+1=log24n+1-1=2n，
∴T_n=2+4+6+…+2n=

n(2+2n)

2

=n（n+1）；
（3）由（2）知，cn=

1

Tn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴U_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
易知1-

1

n+1

单调递增，
∴1-

1

2

≤1-

1

n+1

＜1，即

1

2

≤U_n＜1，
∴最小的集合[a，b）=[

1

2

，1），使U_n∈[a，b）．

点评：本题考查利用数列递推式求数列通项、对数列求和，裂相消法对数列求和是高考考查的重点内容，应熟练掌握．