Question

设函数f（x）=e^x-x-1，g（x）=e^2x-x-7．
（1）解不等式f（x）≤g（x）；
（2）事实上：对于?x∈R，有f（x）≥0成立，当且仅当x=0时取等号．由此结论证明：(1+

1

x

)x＜e，（x＞0）．

Answer 1

分析：（1）依题意，解不等式e^2x-e^x-6≥0即可；
（1）?x∈R，有f（x）≥0成立，当且仅当x=0时取等号⇒当x＞0时，e^x＞x+1，将

1

x

替换上式中的x，整理即可．

解答：解：（1）由f（x）≤g（x），得e^x-x-1≤e^2x-x-7．即e^2x-e^x-6≥0，
所以e^x≥3，
所以x≥ln3，即不等式f（x）≤g（x）的解集为[ln3，+∞）；
（2）由已知当x＞0时，e^x＞x+1，而此时

1

x

＞0，所以e

1

x

＞1+

1

x

，
所以e＞(1+

1

x

)x（x＞0）．

点评：本题考查指、对数不等式的解法，突出考查综合法证明不等式，考查推理论证的逻辑思维能力，属于难题．