题目内容

设向量an=(cos
nπ
6
，sin
nπ
6
)，向量b的模为k（k为常数），则y=|a1+b|2+|a2+b|2+…+|a10+b|2的最大值与最小值的差等于
 
．
分析：根据题意写出y的表达式，再设出
b
=k(cosθ，sinθ)并且计算出
a1
+
a2
…+
a10
的结果，然后代入最后求出函数的最值，进而得到答案．
解答：解：因为
an
=（cos
nπ
6
，sin
nπ
6
），
所以
an
2= cos2
nπ
6
+sin2
nπ
6
=1．
y=|a1+b|2+|a2+b|2+…+|a10+b|2
=
a1
2+
a2
2+…+
a10
2+10
 b 
2+2
b
•（
a1
+
a2
…+
a10
）
=10+10k2+2
b
•（
a1
+
a2
…+
a10
）
因为
an
=（cos
nπ
6
，sin
nπ
6
），
所以
a1
=(
3
2
，
1
2
)，
a2
=(
1
2
，
3
2
)，
a3
=(0，1)，
a4
=(-
1
2
，
3
2
)，
a5
=(-
3
2
，
1
2
)，
a6
=(-1，0)，
a7
=(-
3
2
，-
1
2
)，
a2
=(-
1
2
，-
3
2
)，
a9
=(0，-1)，
a10
=(
1
2
，-
3
2
)．
所以
a1
+
a2
…+
a10
=（-1-
3
2
，
1
2
）
又设
b
=k(cosθ，sinθ)，（k≥0，θ∈R）
所以y=10+10k2+2
b
•（
a1
+
a2
…+
a10
）
=10+10k2+2k（cosθ，sinθ）•（-1-
3
2
，
1
2
）
=10+10k2+2k
2+
3
cos（θ-α）
所以y的最大值为10+10k2+2k
2+
3
，最小值为10+10k2-2k
2+
3
，
所以最大值与最小值的差等于4k
2+
3
=2（
6
+
2
）k．
故答案为2（
6
+
2
）k．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握向量的有关基本运算以及有关三角恒等变换的运算．
练习册系列答案
相关题目
平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n（n≥3）维向量，n维向量可用（x1，x2，x3，…xn）表示，设
a
=（a1，a2，a3，…an），规定向量 
a
与
b
  夹角θ的余弦cosθ=
aibi
ai2bi2 
a
=（1，1，1，1），
b
=（-1，1，1，1） 时，cosθ=（　　）
A、-
1
2
B、1
C、2
D、
1
2
我们把一系列向量
ai
(i=1，2，…，n)按次序排成一列，称之为向量列，记作{
an
}．已知向量列{
an
}满足：
a1
=(1，1)，
an
=(xn，yn)=
1
2
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)，．
（1）证明数列{
|an
|}是等比数列；
（2）设θn表示向量
an-1
，
an
间的夹角，求证cosθn是定值；
（3）若bn=2nθn-1，Sn=b1+b2+…+bn，求
lim
n→∞
bnSn2的值．
我们学过平面向量（二维向量）），空间向量（三位向量），二维、三维向量的坐标表示及其运算可以推广到n（n≥3）维向量．n维向量可用 （x1，x2，x3，x4，…，xn）表示．设
a
=（a1，a2，a3，a4，…，an），设
b
=（b1，b2，b3，b4，…，bn），a与b夹角θ的余弦值为cosθ=
a1b1+a2b2+…+anbn
a
2
1
+
a
2
2
+…+
a
2
n
•
b
2
1
+
b
2
2
+…+
b
2
n
．当两个n维向量，
a
=（1，1，1，…，1），
b
=（-1，-1，1，1，…，1）时，cosθ=（　　）
A、
n-1
n
B、
n-2
n
C、
n-3
n
D、
n-4
n
平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n（n≥3）维向量，n维向量可用（x1，x2，x3，x4，…，xn）表示．设
a
=（a1，a2，a3，a4，…，an），
b
=（b1，b2，b3，b4，…，bn），规定向量
a
与
b
夹角θ的余弦为cosθ=
n
i=1
aibi
(
n
i=1
a
2
1
)(
n
i=1
b
2
1
) 
．已知n维向量
a
，
b
，当
a
=（1，1，1，1，…，1），
b
=（-1，-1，1，1，1，…，1）时，cosθ等于（　　）
设向量an=(cos,sin)，向量b的模为k（k为常数），则y=|a1+b|2+|a2+b|2+…+|a10+b|2的最大值与最小值的差等于_____________.

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