Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+

tanA

tanB

=

2c

b

（1）求角A．
（2）若

m

=(0，-1)，

n

=(cosB，2cos2

C

2

)，试求|

m

+

n

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用切化弦，正弦定理，化简1+

tanA

tanB

=

2c

b

，求出cosA的值，即可求出A的大小．
（2）利用

m

+

n

，求出它的表达式，再求|

m

+

n

|的平方的表达式，根据A的值，确定B的范围，从而求出|

m

+

n

|的平方的最小值，然后求出|

m

+

n

|的最小值．

解答：解：（1）1+

tanA

tanB

=

2c

b

?1+

sinAcosB

cosAsinB

=

2sinC

sinB

（3分）
?

sin(A+B)

cosAsinB

=

2sinC

sinB

（5分）
?cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π
∴A=

π

3

（5分）
（2）

m

+

n

=（cosB，cosC）（6分）
?|

m

+

n

|2=cos²B+cos²C=cos²B+cos²（

2π

3

-B）=1-

1

2

sin（2B-

π

6

），（8分）
∵A=

π

3

，
∴B+C=

2π

3

∴B∈（0，

2π

3

）从而-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

∴当sin（2B-

π

6

）=1，即B=

π

3

时，|

m

+

n

|最小值=

2

2

（12分）

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，切化弦，正弦定理向量的模，三角函数的最值，注意公式的灵活应用．角的范围的应用．