Question

已知函数f(x)=log3

1+x

1-x

．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）当x∈[0，

1

2

]时，函数y=[f（x）]²-a•f（x）+1的最小值为-

a

2

，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得函数的定义域为（-1，1）关于原点对称，然后检验f（-x）与f（x）的关系，即可判断
（2）令f（x）=t，由x∈[0，

1

2

]，可得t∈[0，1]，则函数y=[f(x)]2-a•f(x)+1=t2-at+1=(t-

a

2

)2+1-

a2

4

，，则通过讨论对称轴

a

2

与区间[0，1]的关系可求
最小值为g（a），结合已知可求a

解答：（1）证明：∵

1+x

1-x

＞0，∴x∈（-1，1）
函数的定义域为（-1，1）关于原点对称，…（2分）
又∵f（-x）+f（x）=log3

1-x

1+x

+log3

1+x

1-x

=log₃1=0
∴f（-x（=-f（x）
故函数f（x）为奇函数（6分）
（2）解：令f（x）=t，∵x∈[0，

1

2

]，∴t∈[0，1]…（9分）
函数y=[f(x)]2-a•f(x)+1=t2-at+1=(t-

a

2

)2+1-

a2

4

设函数y=[f（x）]²-a•f（x）+1的最小值为g（a）
若a≤0，则当t=0时，函数取到最小值g（a）=1；
由-

a

2

=1，得a=-2
若0＜a＜2，当t=

a

2

时，函数取到最小值g(a)=1-

a2

4

由-

a

2

=1-

a2

4

，得a=1±

5

（舍）
若a≥2，当t=1时，函数取到最小值g（a）=2-a
由-

a

2

=2-a，解得a=4
∴a=-2或a=4…．（16分）

点评：本题主要考查对数函数的定义域与奇偶性，对a分类讨论是难点，由f（-x）+f（x）=0判断该题的奇偶性是好方法，属于中档题．