Question

已知f（x）=3^x，并且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为区间[-1，1]．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）的值域．

Answer 1

（1）∵f（a+2）=18，∴3^a+2=9•3^a=18，即3^a=2，∴a=log₃2，
∴g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x=(3log32)x-4x=2x-4x．
（2）∵g（x）=2^x-4^x=-（2^x-

1

2

）²+

1

4

，
∵-1≤x≤1，
∴

1

2

≤2x≤2，
∴设t=2^x，则

1

2

≤t≤2，
则函数g（x）等价为m（t）=-（t-

1

2

）²+

1

4

，
∴m（t）单调递减，
∴-2≤m(t)≤

1

4

，
即函数g（x）的值域为[-2，

1

4

]．