题目内容
【题目】已知点
在
上，以
为切点的
的切线的斜率为
，过外一点
（不在
轴上）作的切线
、
，点
、
为切点，作平行于
的切线
（切点为
），点
、
分别是与、的交点（如图）：
（1）用、的纵坐标
、
表示直线的斜率；
（2）若直线
与的交点为
，证明是
的中点；
（3）设三角形
面积为
，若将由过外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如
，再由、作“切线三角形”，并依这样的方法不断作切线三角形……，试利用“切线三角形”的面积和计算由抛物线及所围成的阴影部分的面积
【答案】（1）
；（2）证明见解析；（3）
.
【解析】
（1）设切线方程为
， 
代入数据计算得到答案.
（2）设
，计算得到
，
，
，计算得到
得到答案.
（3）根据（2）知
确定的切线三角的面积为
，继续下去可得算式
，计算得到答案.
（1）设切线方程为， 
.
（2）设，则
，所以
（
为
的纵坐标），
设
，利用切线方程得
即
两式相减得
由前面计算可知，
平行于横轴，可得
.
将代入得：
，由
，所以
为
的中点.
（3）设
由（2）的结论可知
由确定的切线三角的面积为
后一个切线三角形的面积是前一切线三角形面积的
由此继续下去可得算式
.
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