Question

如图所示，平面多边形ABCDP是由梯形ABCD和等边△PAD组成，已知AB//DC ，BD=2AD=4，AB=2DC=，现将△PAD沿AD折起，使点P的射影恰好落在直线AD上.

   （1）求证：BD⊥平面PAD；

   （2）求平面PAD与平面PAB所成的二面角的余弦值。

                        

Answer 1

如图所示，平面多边形ABCDP是由梯形ABCD和等边△PAD组成，已知AB//DC ，BD=2AD=4，AB=2DC=，现将△PAD沿AD折起，使点P的射影恰好落在直线AD上.

（1）求证：BD⊥平面PAD；

   （2）求平面PAD与平面PAB所成的二面角的余弦值。

（1）证明：由题意知平面PAD⊥平面ABCD，又BD=2AD=4，AB=可得AB²=AD²+BD²，则BD⊥AD，又AD为平面PAD与平面ABCD的交线，则BD⊥平面PAD；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　

-----6分

（2）如图建立空间直角坐标，易知A（1，0，0），B（-1，4，0），

P（0，0，），，，

平面PDA的法向量为=（0，1，0），设平面PAB的法向量为

由，得，取 则

所以平面PAD与平面PAB所成的二面角的余弦值为.