Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+1=2a_n，则使不等式a₁²+a₂²+…+a_n²＜5×2ⁿ⁺¹成立的n的最大值为

4

．

Answer 1

分析：利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及等比数列的通项公式即可得出a_n，利用等比数列的前n项和公式即可得出

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

，再化简即可得出答案．

解答：解：当n=1时，a₁+1=2a₁，解得a₁=1．
当n≥2时，∵S_n+1=2a_n，S_n-1+1=2a_n-1，∴a_n=2（a_n-a_n-1），∴

an

an-1

=2．
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列．
∴an=2n-1，∴

a

2 n

=4n-1．
∴

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

=1+4+4²+…+4^n-1=

4n-1

4-1

=

1

3

(4n-1)．∴

1

3

(4n-1)＜5×2n+1．
∴2ⁿ（2ⁿ-30）＜1，可知使得此不等式成立的n的最大值为4．

点评：熟练掌握an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、不等式的解法等是解题的关键．