Question

（2013•三门峡模拟）已知函数f（x）=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a，x∈R，其中a＞0，若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，则a的取值范围为（　　）

• A．（0，

  1

  3

  ）
• B．（0，1）
• C．（

  1

  3

  ，1）
• D．（1，+∞）

Answer 1

分析：由函数的解析式，求出导函数的解析式，分析出函数f（x）在区间（-2，0）上的单调性，进而根据函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，构造关于a的不等式组，解不等式组可得答案．

解答：解：f'（x）=x²+（1-a）x-a=（x-a）（x+1），
当-2＜x＜-1时，f'（x）＞0，f（x）在（-2，-1）是增函数，
当-1＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（-1，0）是减函数，
∵函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，
∴

f(-2)＜0 f(-1)＞0 f(0)＜0

，
解得0＜a＜

1

3

，
故选A．

点评：本题考查的知识点是利用导函数判断函数单调性时，函数零点存在定义，其中根据零点存在定理构造关于a的不等式组是解答的关键．