Question

正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y²=4x上，一条对角线BD在直线x+2y-4=0上，求此正方形的边长．

Answer 1

分析：根据正方形的性质可知AC⊥BD，进而可知AC斜率是2，设直线AC方程为y=2x+b，代入抛物线方程，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而求得y₁+y₂，则AC的中点坐标可得，代入直线x+2y-4=0中求得b，进而求得x₁+x₂和x₁x₂的值，求得（x₁-x₂）²和（y₁-y₂）²，从而求得AC的长度，根据AB=

AC

2

求得正方形的边长．

解答：解：∵AC⊥BD
∴AC斜率是2
设直线方程为y=2x+b
代入抛物线方程得4x²+4bx+b²=4x
即4x²+（4b-4）x+b²=0
∴x₁+x₂=-

4b-4

4

=1-b
∵y=2x+b
∴y₁+y₂=2x₁+b+2x₂+b=2（1-b）+2b=2
∵AC中点（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）在BD上
∴1=-

1

2

•

1-b

2

+2
∴b=-3
代入4x²+（4b-4）x+b²=0
得4x²-16x+9=0
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=

9

4

∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=7
（y₁-y₂）²=[2（x₁-x₂）]²=28
∴AC=

7+28

=

35

∴AB=

AC

2

=

70

2

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．弦长问题、最值问题、对称问题等考查了学生综合分析问题的能力．