Question

已知数列{a_n}中，a1=

1

2

，a_n+1-a_n=

3-2n

2n+1

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}中的最大项；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）首先当n=1时，a₂-a₁=

3-2

4

＞0，可知a₂＞a₁，当n≥2时，a_n+1-a_n=

3-2n

2n+1

＜0，可得a_n+1＜a_n．因此当n≥2时，数列{a_n}是递减数列，因而可知数列{a_n}中最大项为a₂．
（2）当n≥2时，可知a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-1-a_n-2）+（a_n-a_n-1），代入各项的值，根据式子的特征设置ka_n代入各项值，两式相减即可求出数列{a_n}的通项公式an=

2n-1

2n

；再检查当n=1时，通项式是否符合，若不符合，则分情况，若符合，则该数列的通项公式为an=

2n-1

2n

．

解答：解：（1）当n=1时，a₂-a₁=

3-2

4

＞0．
∴a₂＞a₁，当n≥2时，a_n+1-a_n=

3-2n

2n+1

＜0，
∴a_n+1＜a_n．
故当n≥2时，数列{a_n}是递减数列．
综上所述，对一切n∈N^*都有a₂≥a_n．
∴数列{a_n}中最大项为a₂．
（2）由a1=

1

2

，a_n+1-a_n=

3-2n

2n+1

（n∈N^*），
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-1-a_n-2）+（a_n-a_n-1）=

1

2

+

3-2×1

22

+

3-2×2

23

+

3-2×3

24

++

3-2×(n-1)

2n

，①

1

2

an=

1

22

+

3-2×1

23

+

3-2×2

24

+

3-2×3

25

++

3-2×(n-2)

2n

+

3-2×(n-1)

2n+1

，②
①-②，得

1

2

an=

1

2

-

1

22

-

1

23

--

1

2n-1

-

5-2n

2n+1

，
∴an=1-(

1

2

+

1

22

++

1

2n-2

)-

5-2n

2n

=

2n-1

2n

．
又n=1时，a₁=

1

2

适合上式，
∴an=

2n-1

2n

（n∈N^*）．

点评：此题主要考根据数列的公式判断函数的单调性，以及数列的通项公式的推导方法，是基础题．