Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，角A、B、C成等差数列，sinA=

2

2

，边a的长为

2

．
（ I）求边b的长；
（II）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）由角A、B、C成等差数列，由等差数列的性质得到2B=A+C，然后利用三角形的内角和定理即可求出B的度数，由sinA，sinB及a的值，利用正弦定理即可求出b的长；
（II）由sinA的值和A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，又根据A+C的度数得到满足题意的A的度数，根据C=π-（A+B），利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化简，由特殊角的三角函数值即可求出sinC的值，然后根据三角形的面积公式，由a，b及sinC的值即可求出△ABC的面积

解答：解：（I）∵角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C．
∵A+C=π-B，∴3B=π，B=

π

3

．∵sinA=

2

2

由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，即

2

2 2

=

b

sin π 3

，解得b=

3

．
（II）∵sinA=

2

2

，A∈（0，π），
∴A=

π

4

，或A=

3π

4

，
∵A+C=

2π

3

，∴A=

π

4

．
则sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=sin

π

4

cos

π

3

+cos

π

4

sin

π

3

=

6 + 2

4

，
所以S△ABC=

1

2

a•b•sinC=

1

2

•

2

•

3

•

6 + 2

4

=

3+ 3

4

．

点评：此题考虑学生掌握等差数列的性质，灵活运用正弦定理及诱导公式化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．