Question

（2012•厦门模拟）已知双曲线

x

2

-

y 2

b 2

=1(b＞0)的左、右焦点分别是F₁、F₂，点B（0，b），若△BF₁F₂的外接圆圆心到双曲线渐近线的距离为

3

12

，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．2
• D．2

  2

Answer 1

分析：设△BF₁F₂的外接圆的圆心为C（0，m），根据|CB|=|CF₁|和点C（0，m）双曲线渐近线的距离为

3

12

，联列方程组并解之可得m=-

3

6

，b=

3

，最后根据双曲线的平方关系和离心率的定义可算出本题的答案．

解答：解：根据双曲线的对称性，得△BF₁F₂的外接圆圆心C在y轴上，
设C（0，m），得|CB|=|CF₁|
∴b-m=

m2+c2

=

m2+b2+1

…①
又∵点C（0，m）双曲线渐近线的距离为

3

12

，
∴

|m|

1+b 2

=

3

12

…②
联解①②，得m=-

3

6

，b=

3

（因为b＞0，舍去另一组解）
∴双曲线方程为

x

2

-

y 2

3

=1，得c=

a2+b2

=2
由此可得：双曲线的离心率e=

c

a

=2
故选：C

点评：本题给出经过双曲线两个焦点和虚轴一端的圆，在已知圆心到渐近线的距离情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单性质、直线与圆的位置关系等知识点，属于中档题．