Question

数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=2，2a_n+1=a_n+n，b_n=a_n-n+2（n∈N^*）
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为A_n、B_n，问是否存在实数λ，使得{

An+λBn

n

}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据所给的两个式子，变形消去a_n+1和a_n，得到有关{b_n}的递推公式，进而判断出该数列是等比数列，再代入通项公式即可；
（2）由（1）的结果和等差（等比）数列的前n项和公式，求出A_n、B_n的关系式，再表示出

An+λBn

n

，
再由等差数列通项公式的特点进行求值．

解答：解：（1）由b_n=a_n-n+2得，a_n=b_n+n-2，
∵2a_n+1=a_n+n，
∴2[bn+1+(n+1)-2]=bn+2n-2，即bn+1=

1

2

bn，
∴{b_n}是首项为b1=a1+1=3，公比为

1

2

的等比数列．
故bn=3(

1

2

)n-1
（2）由（1）知，a_n=b_n+n-2，
∴An=Bn+

n(n-3)

2

，
又∵{b_n}是首项为b1=a1+1=3，公比为

1

2

 的等比数列，
∴Bn=

3(1- 1 2n )

1- 1 2

=6(1-

1

2n

)，
∴

An+λBn

n

=

(1+λ)Bn+ n(n-3) 2

n

=

n-3

2

+

6(1+λ)(1- 1 2n )

n

，
故当且仅当λ=-1时，{

An+λBn

n

}为等差数列（12分）

点评：本题是数列的综合题，涉及了等差数列、等比数列的通项公式，还涉及了求等差（等比）数列的前n项和公式，考查了分析问题和解决问题的能力．