Question

证明A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)、D(6,0)四点共圆,并求出此圆的圆心和半径.

Answer 1

思路分析:首先由不共线三点确定一个圆,然后再证第四个点在圆上,用待定系数法.

解法一:设所共圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0.

将A、B、D三点坐标代入得

故过A、B、D三点的圆的方程为x²+y²-8x-2y+12=0.

把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.

∴点C在该圆上.∵=4,=1,

∴圆心为(4,1),r=

综上,可得四点共圆于圆心为(4,1),半径为的圆,

其方程为x²+y²-8x-2y+12=0.

解法二:∵AB边的中点为(),斜率为k_AB=.

∴AB边的垂直平分线的方程为y-=-3(x-),

即3x+y-13=0.①∵BC的中点为(4,1),k_BC==2,

∴BC边的垂直平分线的方程为y-1=-(x-4),

即x+2y-6=0.②,解①②组成的方程组得

∴圆心为(4,1),半径r=.

∴所求圆的方程为(x-4)²+(y-1)²=5.

  绿色通道:圆的标准方程中有三个未知量a,b,r;圆的一般方程有三个未知量D,E,F.故确定一个圆需要三个独立的条件,一般利用待定系数法确定.这需要把题目中的已知条件一一转化为关于未知量的方程,利用方程组获得a,b,r或D,E,F的值,进而确定圆的方程.其基本步骤为:(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²或设方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0;(2)根据已知条件,建立关于a、b、r或D,E,F的方程组;(3)解方程组,求出a、b、r或D,E,F的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.不过有时利用圆的几何性质解题,会有更简捷的解题途径.