题目内容

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（a-b） cosC=c（cosB-cos A）．
（I）判断△ABC的形状；
（II）求y=cosA+sin（B+ $数学公式$ ）的最大值，并求y取得最大值时角C的大小．

解：（I）在△ABC中，∵（a-b） cosC=c（cosB-cos A），由正弦定理可得（sinA-sinB） cosC=sinC（cosB-cos A），
化简可得 sin（A+C）=sin（B+C），
∴sinB=sinA，由正弦定理可得 a=b，故△ABC为等腰三角形．
（II）由（I）可得A=B∈（0， $\text{[math]}$ ），由于 y=cosA+sin（B+ $\text{[math]}$ ）=cosA+ $\text{[math]}$ A+ $\text{[math]}$ sinA= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ），
故当 A+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 A= $\text{[math]}$ =B时，y_max= $\text{[math]}$ ，此时，C=π-（A+B）= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）在△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinB=sinA，故有a=b，故△ABC为等腰三角形．
（II）由（I）可得A=B∈（0， $\text{[math]}$ ），化简函数 y 的解析式为 $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ），故当 A+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，y_max= $\text{[math]}$ ，易得此时角C的大小．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理的应用，求三角函数的最值，属于中档题．