题目内容
已知函数f（x）=asinx-x+b（a、b均为正常数）．
（1）证明函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）设函数f（x）在x=
处有极值，对于一切x∈[0，
]，不等式f（x）＞sinx+cosx总成立，求b的取值范围．
（1）证明函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）设函数f（x）在x=
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
分析：（1）函数f（x）=asinx-x+b在（0，a+b]内至少有一个零点，代入f（0）和f（a+b）利用零点定理进行求解；
（2）对f（x）进行求导，利用函数f（x）在x=
处有极值，可得f′（
）=0，求出a的值，将问题转化为b＞x+cosx-sinx对一切x∈[0，
]恒成立，利用常数分离法进行求解；
（2）对f（x）进行求导，利用函数f（x）在x=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
解答：解：（1）∵f（0）=b＞0…（2分）
f（a+b）=asin（a+b）-（a+b）+b=a[sin（a+b）-1]≤0…（4分）
∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点…（6分）
（2）∵f（x）=asinx-x+b，∴f'（x）=acosx-1…（7分）
由题意得f′(
)=0，即acos
-1=0⇒a=2…（8分）
问题等价于b＞x+cosx-sinx对一切x∈[0，
]恒成立…（9分）
记g（x）=x+cosx-sinx，
则g′(x)=1-sinx-cosx=1-
sin(x+
)…（10分）
∵0≤x≤
⇒
≤x+
≤
…（11分）
∴
≤sin(x+
)≤1
即1≤
sin(x+
)≤
∴g'（x）≤0，即g（x）在[0，
]上是减函数…（12分）
∴g（x）max=g（0）=1，于是b＞1，故b的取值范围是（1，+∞）…（13分）
f（a+b）=asin（a+b）-（a+b）+b=a[sin（a+b）-1]≤0…（4分）
∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点…（6分）
（2）∵f（x）=asinx-x+b，∴f'（x）=acosx-1…（7分）
由题意得f′(
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
问题等价于b＞x+cosx-sinx对一切x∈[0，
| π |
| 2 |
记g（x）=x+cosx-sinx，
则g′(x)=1-sinx-cosx=1-
| 2 |
| π |
| 4 |
∵0≤x≤
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
∴
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
即1≤
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
∴g'（x）≤0，即g（x）在[0，
| π |
| 2 |
∴g（x）max=g（0）=1，于是b＞1，故b的取值范围是（1，+∞）…（13分）
点评：此题主要考查函数的零点定理以及函数的恒成立问题，利用导数研究函数的最值和极值问题，是一道基础题；
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