Question

对于函数f（x）=（2x-x²）e^x
（1）(-

2

，

2

)是f（x）的单调递减区间；
（2）f(-

2

)是f（x）的极小值，f(

2

)是f（x）的极大值；
（3）f（x）有最大值，没有最小值；
（4）f（x）没有最大值，也没有最小值．
其中判断正确的是

（2）（3）

．

Answer 1

分析：对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定（1）不正确，（2）正确，根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，（3）正确，（4）不正确，从而得到答案．

解答：解：f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±

2

，
由f′（x）＜0得x＞

2

或x＜-

2

，
由f′（x）＞0得-

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-

2

），（

2

，+∞），单调增区间为（-

2

，

2

），故（1）不正确；
∴f（x）的极大值为f（

2

），极小值为f（-

2

），故（2）正确．
∵x＜-

2

时，f（x）＜0恒成立，在（-

2

，

2

）单调递增，在（

2

，+∞）上单调递减，
∴当x=

2

时取极大值，也是最大值，而当x→+∞时，f（x）→-∞
∴f（x）无最小值，但有最大值f（

2

）则（3）正确．
从而f（x）没有最大值，也没有最小值，则（4）不正确．
故答案为：（2）（3）

点评：本题主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点，属于中档题．