Question

已知定义在R上的函数f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函数
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）由奇函数性质得f（0）=0，由此可求得b值；代入后由f（-x）=-f（x）恒成立可求得a值；
（2）任取x₁，x₂且x₁＜x₂，通过作差可判断f（x₁）与f（x₂）大小关系，从而可知其单调性；

解答：解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=

b-1

a+1

=0，解得b=1；
则f（x）=

1-2x

a+2x

，
因为f（-x）=

1-2-x

a+2-x

=

2x-1

a•2x+1

=-f（x）=

2x-1

a+2x

，
所以a•2^x+1=a+2^x，即a（2^x-1）=2^x-1对任意实数x都成立，
所以a=1，故a=b=1．
（2）f（x）=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1，f（x）在R上是减函数，
证明：任取x₁，x₂且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

，
因为x₁＜x₂，所以2x2-2x1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在R上是减函数．

点评：本题考查函数奇偶性的性质及函数单调性的证明，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．