Question

（提示：1、12、13、14班同学请完成试题（B），其他班级同学任选试题（A）或（B）作答）
（A） 已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10）及

AP

=

AB

+t

AC

，试问：
（1）t为何值时，P在第三象限？
（2）是否存在D点使得四边形ABCD为平行四边形，若存在，求出D点坐标．
（B） 已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于点E，

AN

=

1

2

ND

，连接BN交AC于M，
（1）若

AM

=λ

AE

，求实数λ．
（2）若B（0，0），C（1，0），D（2，1），求M的坐标．

Answer 1

分析：（A）（1）解出P的坐标，令其横纵坐标小于0，即可解出参数t的取值范围．
（2）设出D的坐标，利用向量的相等建立方程求出其坐标，若能求出，则说明存在，否则说明不存在．
（B）（1）选定基向量，利用三角形法则将两个向量用基向量表示出来即可得出参数的值；
（2）由向量的坐标运算规则直接求出M的坐标．

解答：解：（A）（1）∵A（2，3），B（5，4），C（7，10）及

AP

=

AB

+t

AC

，
∴

AP

=

AB

+t

AC

=（3，1）+t（5，7）=（3+5t，1+7t）
∴P（5+5t，4+7t）
又P在第三象限，故有

5+5t＜0 4+7t＜0

解得t＜-1
（2）存在D（x，y）使得四边形ABCD为平行四边形，因为
∵四边形ABCD为平行四边形，令AC，与BD的交点为E，则E是对角线的中点，可求得E（

9

2

，

13

2

），
∴

x=9-5=4 y=13-4=9

故D（4，9）
（B）（1）如图，以

AB

，

AD

为基向量，则

AE

=

1

2

（

AB

+

AD

）   ①

AM

=

AN

+

NM

=

1

3

AD

+α

NB

=

1

3

AD

+α（

AB

-

AN

）=

1

3

AD

+α（

AB

-

1

3

AD

）=α

AB

+

1

3

（1-α）

AD

又

AM

=β

AC

=β（

AB

+

AD

）
故有

α=β 3β=1-α

解得α=β=

1

4

，即

AM

=

1

4

AC

=

1

4

（

AB

+

AD

）    ②
由①②知，M是A，E的中点故λ=

1

2

，
（2）∵B（0，0），C（1，0），D（2，1），
∴

CB

=（-1，0），

CD

=（1，1）
∴

CA

=（0，1），
由上，

AM

=

1

4

AC

，即，

AM

=-

3

4

CA

=（0，-

3

4

）

点评：本题考查向量的坐标运算，求解本题的关键是掌握住向量的加减法则，本题是一个向量综合题，综合考查了向量的三角形法则，向量的坐标运算，运算量较大，易因马虎导致出错，做题时要严谨．