Question

已知函数f(x)=(cos(2x-

π

4

)+

2

2

)2+cos2(2x+

π

4

+nπ)-

3

2

（n∈Z）
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换将f（x）化简为：f（x）=

2

cos（2x-

π

4

）即可利用三角函数的周期公式求得其周期；
（2）由

π

4

≤x≤

3π

4

，可求得2x-

π

4

的范围，利用余弦函数的单调性质即可求得函数f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=[cos2(2x-

π

4

)+

2

cos（2x-

π

4

）+

1

2

]+

1+cos[4x+ π 2 +2nπ]

2

-

3

2

=

1+cos(4x- π 2 )

2

+

2

cos（2x-

π

4

）+

1

2

]+

1+cos[4x+ π 2 +2nπ]

2

-

3

2

=

1

2

sin4x+

2

cos（2x-

π

4

）-

1

2

sin4x
=

2

cos（2x-

π

4

）．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵

π

4

≤x≤

3π

4

，
∴

π

4

≤2x-

π

4

≤

5π

4

，
∴-1≤cos（2x-

π

4

）≤

2

2

．
∴-

2

≤f（x）=

2

cos（2x-

π

4

）≤1．
∴f（x）_max=1，f（x）_min=-

2

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查复合三角函数的单调性，化简出f（x）=

2

cos（2x-

π

4

）是关键，也是难点，属于中档题．