Question

在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．

Answer 1

解：（1）因为f（x）对称轴为x=0
若0≤a＜b，则f（x）在[a，b]上单调递减，
所以f（a）=2b，f（b）=2a，
于是，
解得[a，b]=[1，3]．
（2）若a＜b≤0，则f（x）在[a，b]上单调递增，
所以f（a）=2a，f（b）=2b，
于是，方程两根异号，
故不存在满足a＜b≤0的a，b．
（3）若a＜0＜b，则f（x）在[a，0]上单调递增，在[0，b]上单调递减，
所以．
所以，
又a＜0，所以，
故f（x）在x=a处取得最小值2a，即，得，
所以．
综上所述，[a，b]=[1，3]或．
分析：求出二次函数的对称轴，通过对区间与对称轴x=0的位置关系分三类，求出二次函数f（x）的最值，列出方程组，求出a，b的值．
点评：解决二次函数在区间上的单调性、最值问题，应该先求出二次函数的对称轴，根据对称轴与区间的关系来解决．