Question

定义：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），满足f(x0)=

f(b)-f(a)

b-a

，则称x₀是函数y=f（x）在区间[a，b]上的一个均值点．已知函数f（x）=-x²+mx+1在区间[-1，1]上存在均值点，则实数m的取值范围是

（0，2）

．

Answer 1

分析：函数f（x）=-x²+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有-x²+mx+1=

f(1)-f(-1)

1-(-1)

在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=-x²+mx+1在区间[-1，1]上存在均值点，
∴关于x的方程-x²+mx+1=

f(1)-f(-1)

1-(-1)

在（-1，1）内有实数根．
由-x²+mx+1=

f(1)-f(-1)

1-(-1)

⇒x²-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1），
∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．
∴所求实数m的取值范围是（0，2），
故答案为：（0，2）．

点评：本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．