Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图2．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）若M是A₁D的中点，求CM与平面A₁BE所成角的大小；
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直？说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明A₁C⊥平面BCDE，因为A₁C⊥CD，只需证明A₁C⊥DE，即证明DE⊥平面A₁CD；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A₁BE法向量，=（-1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A₁BE所成角的大小；
（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A₁DP法向量为
假设平面A₁DP与平面A₁BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．
解答：（1）证明：∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A₁D=D，
∴DE⊥平面A₁CD，
又∵A₁C?平面A₁CD，∴A₁C⊥DE
又A₁C⊥CD，CD∩DE=D
∴A₁C⊥平面BCDE
（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（-2，0，0），A₁（0，0，2），B（0，3，0），E（-2，2，0）
∴，
设平面A₁BE法向量为
则∴∴
∴
又∵M（-1，0，），∴=（-1，0，）
∴
∴CM与平面A₁BE所成角的大小45°
（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]
∴，
设平面A₁DP法向量为
则∴
∴
假设平面A₁DP与平面A₁BE垂直，则，
∴3a+12+3a=0，6a=-12，a=-2
∵0≤a≤3
∴不存在线段BC上存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直
点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会．