Question

已知f（x）=-2sin²x+2

3

sinxcosx+5
（1）将函数化为f（x）=Asin（ωx+φ）+k（其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）的形式，并指出函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[

π

2

，π]时，求f（x）的范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，直接利用周期公式直接求函数f（x）的最小正周期．
（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+

π

6

)+4，当x∈[

π

2

，π]时，求出2x+

π

6

的范围，进而得到f（x）的范围．

解答：解：（1）由于f（x）=-2sin²x+2

3

sinxcosx+5
=-2×

1-cos2x

2

+

3

sin2x+5
=cos2x-

3

sin2x+4
=2sin(2x+

π

6

)+4
则函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+

π

6

)+4，
∵x∈[

π

2

，π]，∴

7π

6

≤2x+

π

6

≤

13π

6

∴sin(2x+

π

6

)∈[-1，

1

2

]，故f（x）∈[2，5]
∴f（x）的范围为[2，5]．

点评：本题考查三角函数的化简，二倍角公式与两角和的正弦公式的应用，考查三角函数的周期性以及三角函数的值域，计算能力．