Question

已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x³+x+1时
（1）求f（2），f（-2）；
（2）求f（0）；
（3）求f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析：（1）把x=2代入解析式求f（2）的值，再由奇函数的关系式f（-2）=-f（2）求出f（-2）；
（2）由奇函数的关系式列出f（0）=-f（-0），再求值；
（3）设x＜0，则-x＞0，代入对应的解析式求出f（-x），再由奇函数的关系式f（-x）=-f（x），求出f（x），再由（1）和（2），用分段函数写出函数的解析式．

解答：解：（1）∵当x＞0时，f（x）=x³+x+1，∴f（2）=11，
∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（-2）=-f（2）=-11，
（2）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=-f（-0），
解得f（0）=0，
（3）设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=-x³-x+1，
∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（x）=-f（x）=x³+x-1，
故f（x）=

x3+x+1，x＞0 0，x=0 x3+x-1，x＜0

点评：本题考查了由奇函数的关系式f（-x）=-f（x），求函数值以及解析式．