Question

已知函数f（x）=ax²-|x+1|+2a（a是常数且a∈R）
（1）若函数f（x）的一个零点是1，求a的值；
（2）求f（x）在[1，2]上的最小值g（a）；
（3）记A={x∈R|f（x）＜0}若A=φ，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）的一个零点是1，得到f（1）=0，即可求a的值；
（2）根据二次函数的图象和性质，即可求f（x）在[1，2]上的最小值g（a）；
（3）根据不等式的解法，即可求a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）的一个零点是1，
∴f(1)=a-2+2a=0∴a=

2

3

．
（2）f（x）=ax²-x+2a-1，x∈[1，2]，
①当a=0时g（a）=f（2）=-3．
②当 a＜0时，对称轴为x=

1

2a

＜0g（a）=f（2）=6a-3．
③当a＞0时，抛物线开口向下，对称轴x=

1

2a

，
若x=

1

2a

＜1，即a＞

1

2

时，g（a）=f（1）=3a-2．
若1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

时，g（a）=f（

1

2a

）=2a-1-

1

4a

，
若

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

时，g（a）=f（2）=6a-3．
综上：g（a）=

6a-3，a＜ 1 4 2a-1- 1 4a ， 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2．a＞ 1 2

，
（3）由题意知：不等式f（x）＜0无解
即 ax²-|x+1|+2a≥0恒成立，
即a≥

|x+1|

x2+2

对任意x∈R恒成立，
令t=x+1，
则a≥

|t|

t2-2t+3

=g(t)对任意t∈R恒成立，
①当t=0时g（0）=0，
②当t＞0时g(t)max=g(

3

)=

3 +1

4

，
③当t＜0时g(t)min=g(-

3

)=

3 -1

4

，
∴a≥g（t）_max，
即a≥

3 +1

4

．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质以及函数零点的应用，对应含有参数的问题要对参数进行分类讨论．