Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点F及点A（0，b），原点O到直线FA的距离为

2

2

b．
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）若点F关于直线l：2x+y=0的对称点P在圆O：x²+y²=4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由点F（-ae，0），点A（0，b）及b=

1-e2

a得直线FA的方程为

x

-ae

+

y

1-e2 a

=1，由原点O到直线FA的距离为

2

2

b=a

1-e2 2

，知

ae 1-e2

1-e2+e2

=a

1-e2 2

，e=

2

2

，由此能求出椭圆C的离心率．
（2）设椭圆C的左焦点F(-

2

2

a，0)关于直线l：2x+y=0的对称点为P（x₀，y₀），则有

y0 x0+ 2 2 a = 1 2 2• x0- 2 2 a 2 + y0 2 =0.

，由此入手能够推导出点P的坐标．

解答：解：（1）由点F（-ae，0），点A（0，b）及b=

1-e2

a得直线FA的方程为

x

-ae

+

y

1-e2 a

=1，即

1-e2

x-ey+ae

1-e2

=0，（2分）
∵原点O到直线FA的距离为

2

2

b=a

1-e2 2

，
∴

ae 1-e2

1-e2+e2

=a

1-e2 2

，e=

2

2

．（5分）
故椭圆C的离心率e=

2

2

．（7分）
（2）解：设椭圆C的左焦点F(-

2

2

a，0)关于直线l：2x+y=0的对称点为P（x₀，y₀），则有

y0 x0+ 2 2 a = 1 2 2• x0- 2 2 a 2 + y0 2 =0.

（10分）
解之，得x0=

3 2

10

a，y0=

4 2

10

a．∵P在圆x²+y²=4上
∴(

3 2

10

a)2+(

4 2

10

a)2=4，
∴a²=8，b²=（1-e²）a²=4．（13分）
故椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1，
点P的坐标为(

6

5

，

8

5

)．（14分）

点评：本题考查椭圆的离心率的求法、求解椭圆方程的方法和点的坐标的求解，解题时要认真审题，仔细解答．