Question

已知m是非零实数，抛物线C：y²=2px(p＞0)的焦点F在直线l：x-my-=0上．
(Ⅰ)若m=2，求抛物线C的方程；
(Ⅱ)设直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足为A₁，B₁，△AA₁F，△BB₁F的重心分别为G，H求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外．

Answer 1

解：(Ⅰ)因为焦点在直线l上，得，
又m=2，故p=4，
所以抛物线C的方程为y²=8x．
(Ⅱ)证明：因为抛物线C的焦点F在直线l上，
所以p=m²，所以抛物线C的方程为y²=2m²x，
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由消去x，得，
由于m≠0，故Δ=4m⁶+m⁴＞0，
且有y₁+y₂=2m³，y₁y₂=-m⁴，
设M₁，M₂分别为线段AA₁，BB₁的中点，
由于，可知，
所以，
所以GH的中点，
设R是以线段GH为直径的圆的半径，
则，
设抛物线的准线与x轴交点，
则

，
故N在以线段GH为直径的圆外。