题目内容

已知函数f（x）的定义域是D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：
①f（0）=0；　
② $数学公式$ ；　
③f（1-x）=1-f（x）．
则 $数学公式$ =， $数学公式$ =．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：由①③可知，f（1）=1，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ 再由②即可求得f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；再由②可求得f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ =f（ $\text{[math]}$ ），而 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，利用函数f（x）在[0，1]上为非减函数，即可求得f（ $\text{[math]}$ ）．
解答：∵f（0）=0，f（1-x）=1-f（x），
∴f（1）=1-f（0）=1，
又f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（x），
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（1）= $\text{[math]}$ ，
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；①
∵ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
∴由f（x）+f（1-x）=1得：f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．②
∵ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，函数f（x）在[0，1]上为非减函数，
∴由①②知，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查函数的值，着重考查观察、分析、与转化、运算与推理的能力，求得f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ =f（ $\text{[math]}$ ）是关键也是难点，属于难题．两边夹的方式求值技巧不易掌握，要好好体会！

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已知函数f（x）=log₃

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y₁+y₂为定值；
（Ⅱ）若Sn=f(

)，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=

4(Sn+1)(Sn+1+1)

，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．

下列说法正确的有（　　）个．
①已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
②函数f（x）图象在点P处的切线存在，则函数f（x）在点P处的导数存在；反之若函数f（x）在点P处的导数存在，则函数f（x）图象在点P处的切线存在．
③因为3＞2，所以3+i＞2+i，其中i为虚数单位．
④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和In=

f(ξi)△x中ξ_i的选取是任意的，且I_n仅于n有关．
⑤已知2i-3是方程2x²+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26．

已知函数f（x）=sin（2x-

），g（x）=sin（2x+

），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

（Ⅰ）已知函数f（x）=x³-x，其图象记为曲线C．
（i）求函数f（x）的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂（x₂，f（x₂））处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₁，S₂．则

为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．

已知函数f（x）=x³-ax+b存在极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f（x）的切线，所作切线恰有两条，切点分别为A、B．
（ⅰ）证明：a=b；
（ⅱ）请问△PAB的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围．