Question

已知函数在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点。
（1）求a²-4b的最大值；
（2）当a²-4b=8时，设函数y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线为l，若l在点A处穿过y=f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式。

Answer 1

解：（1）因为函数在区间，内分别有一个极值点，
所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且
于是，，且当，
即，时等号成立
故的最大值是16。
（2）由知在点处的切线l的方程是，
即，
因为切线l在点A处穿过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，
则不是g（x）的极值点
而，
且
若，则和都是的极值点
所以，即，
又由，得，
故。