Question

已知数列{a_n}：

1

2

，

1

3

+

2

3

，

1

4

+

2

4

+

3

4

，

1

5

+

2

5

+

3

5

+

4

5

，…，那么数列b_n=

1

anan+1

前n项和为

4n

n+1

．

Answer 1

分析：依题意可知a_n=

n

2

，利用裂项法可求得b_n=4（

1

n

-

1

n+1

），求和即可．

解答：解：依题意得：a_n=

1

n+1

+

2

n+1

+…+

n

n+1

=

(1+n)n 2

n+1

=

n

2

，
∴

1

an

=

2

n

，
∴b_n=

1

anan+1

=

2

n

•

2

n+1

=4（

1

n

-

1

n+1

），
∴b₁+b₂+…+b_n=4（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=4（1-

1

n+1

）
=

4n

n+1

．
故答案为：

4n

n+1

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的求和与裂项法求和，考查分析转化与运算能力，属于中档题．