Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和，
（Ⅰ）求点P的轨迹C；
（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y）， 则， 由题设当x＞2时， 由①得， 化简得； 当x≤2时，由①得， 化简得； 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分 与抛物线在直线x=2的左侧部分 （包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1；
（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与的 交点都是， 直线AF，BF的斜率分别为， 当点P在C1上时，由②知，④ 当点P在C2上时，由③知|PF|=3+x，⑤ 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y=k（x-3）， （1）当k≤时， 直线l与轨迹C的两个交点都在C1上， 此时由④知， 从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣ =， 由得， 则是这个方程的两根， 所以* ∣MN∣=， 因为当， ， 当且仅当时，等号成立。 （2）当时， 直线l与轨迹C的两个交点分别在上， 不妨设点M在C1上，点C2上， 则④⑤知，， 设直线AF与椭圆C1的另一交点为E， ， 所以， 而点A，E都在C1上，且， 有（1）知， 若直线l的斜率不存在，则=3， 此时，； 综上所述，线段MN长度的最大值为。