Question

已知函数f(x)=ln(1+x)+a

x

，a∈R是常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求a=-

1

2

时，f（x）零点的个数；
③求证：(1+

1

22

)(1+

1

24

)•…•(1+

1

22n

)＜e（n∈N^*，e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（1）讨论含参数的函数的单调性问题，先求出导函数f′（x），令f′（x）＞0，本小题要对参数a分a≥0，-1＜a＜0，a≤-1三种情形进行讨论，对运算能力要求较高；
（2），由（1）的结论-1＜a=-

1

2

＜0，所以分三个单调区间来利用单调性来讨论函数的零点的个数问题．
（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．

解答：解：（1）f′(x)=

1

1+x

+

a

2 x

=

ax+2 x +a

2 x (1+x)

，
若a≥0，则f′（x）＞0，f（x）在定义域内单调递增；若a≤-1，
则f′（x）＜0，f（x）在定义域内单调递减；若-1＜a＜0，由f′（x）=0
解得，x1=

2-a2-2 1-a2

a2

，x2=

2-a2+2 1-a2

a2

，
直接讨论f′（x）知，f（x）在[0，

2-a2-2 1-a2

a2

)
和(

2-a2+2 1-a2

a2

，+∞)单调递减，
在[

2-a2-2 1-a2

a2

，

2-a2+2 1-a2

a2

]单调递增．
（2）观察得f（0）=0，a=-

1

2

时，
由①得f（x）在[0，7-4

3

)单调递减，
所以f（x）在[0，7-4

3

)上有且只有一个零点；
f(x1)=f(7-4

3

)＜f(0)=0，
计算得f(x2)=f(7+4

3

)=ln(8+4

3

)-

1

2

(2+

3

)＞lne2-2=0，
f（x₁）f（x₂）＜0且f（x）在区间[7-4

3

，7+4

3

]单调递增，
所以f（x）在[7-4

3

，7+4

3

]上有且只有一个零点；
根据对数函数与幂函数单调性比较知，
存在充分大的M∈R，使f（M）＜0，f（x₂）f（M）＜0
且f（x）在区(7+4

3

，+∞)单调递减，
所以f（x）在(7+4

3

，7M)上
从而在(7+4

3

，+∞)上有且只有一个零点．
综上所述，a=-

1

2

时，f（x）有3个零点．
（3）取a=-1，f(x)=ln(1+x)-

x

，
由①得f（x）单调递减，
所以?x＞0，f（x）＜f（0）=0，ln(1+x)＜

x

，
从而ln（1+

1

22

）（1+

1

24

）…（1+

1

22n

）
=ln（1+

1

22

）ln（1+

1

24

）+…（1+

1

22n

）
＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1，
由lnx单调递增得(1+

1

22

)(1+

1

24

)••(1+

1

22n

)＜e．

点评：单调性刻画函数两个变量变化趋势的一致性，是认识函数的重要角度，运用单调性可以确定函数零点的个数，考查导数使单调性可以定量、精确研究这一重要工具．参数是可变的常数，处理参数是比较高端的数学素养，本题考查了这一素养，因此对学生的综合应用能力要求较高．