Question

已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，lga₁、lga₂、lga₄成等差数列。又，n=1，2，3，…，
（Ⅰ）证明{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）如果无穷等比数列{b_n}各项的和S=，求数列{a_n}的首项a₁和公差d。
（注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前项和的极限）

Answer 1

（Ⅰ）证明：设{a_n}中首项为a₁，公差为d，
∵lga₁，lga₂，lga₄成等差数列，
∴2lga₂=lga₁·lga₄，
∴a₂²=a₁·a₄，即(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)，
∴d=0或d=a₁，
当d=0时，a_n=a₁，，
∴，∴{b_n}为等比数列；
当d=a₁时，a_n=na₁，，
∴，∴{b_n}为等比数列；
综上可知{b_n}为等比数列。
（Ⅱ）解：∵无穷等比数列{b_n}各项的和，
∴|q|＜1，
由（Ⅰ）知，q=，d=a₁，，
∴，∴a₁=3，
∴。