题目内容

已知函数f（x）=2cos²x+2 $数学公式$ sinxcosx
①求函数f（x）的最小正周期；
②在△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，若f（C）=2，a+b=4，求△ABC的最大面积．

解：①由已知f（x）=2cos²x+2 $\text{[math]}$ sinxcosx
=cos2x+1+ $\text{[math]}$ sin2x
=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1
∴ $\text{[math]}$ …（6分）
②由①知 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
又0＜C＜π
∴ $\text{[math]}$ ＜2C+ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当且仅当a=b时， $\text{[math]}$ …（12分）
分析：①利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数化简可得，f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1，利用周期公式T= $\text{[math]}$ 可求
②由①知 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，又0＜C＜π 可求C= $\text{[math]}$ ，代入三角形的面积公式 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可求面积的最大值
点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，由三角函数值求角，基本不等式在函数最值求解中的应用．

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