Question

设函数f（x）=lnx+x²+ax．
（Ⅰ）若时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）﹣x²+1，当a=﹣1时，证明g（x）≤0在其定义域内恒成立，并证明（n∈N，n≥2）．

Answer 1

解：，
（Ⅰ）因为时，f（x）取得极值，所以，
即2+1+a=0，故a=﹣3．
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）．
方程2x²+ax+1=0的判别式△=a²-8，
（1）当△≤0，即时，2x²+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数．
（2）当△＞0，即或时，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，
只需在（0，+∞）内有2x²+ax+1≥0即可，
设h（x）=2x²+ax+1，
由得a＞0，所以．
由（1）（2）可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是．
（Ⅲ）证明：g（x）=lnx+ax+1，当a=﹣1时，g（x）=lnx﹣x+1，其定义域是（0，+∞），
令，得x=1．则g（x）在x=1处取得极大值，也是最大值．
而g（1）=0．所以g（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．因此lnx≤x﹣1．
因为n∈N，n≥2，所以lnn²≤n²﹣1．则．
所以=＜==．
所以结论成立．