Question

（2013•顺义区二模）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率为

2 6

3

，顶点与椭圆

x2

8

+

y2

5

=1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为

(±2

2

，0)

；渐近线方程为

15

x±3y=0

．

Answer 1

分析：由椭圆的标准方程

x2

8

+

y2

5

=1可求得其焦点坐标为（±

3

，0），依题意可求得a=

3

，再由双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率为

2 6

3

，可求得c，继而可求得该双曲线的方程，从而可得其焦点坐标与渐近线方程．

解答：解：∵椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

5

=1，
∴其焦点坐标为（±

3

，0），
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的顶点与椭圆

x2

8

+

y2

5

=1的焦点相同，
∴a²=3，
又双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率为

2 6

3

，
∴e²=

c2

a2

=

c2

3

=

8

3

，
∴c²=8，又c²=a²+b²，
∴b²=8-3=5，
∴双曲线的标准方程为

x2

3

-

y2

5

=1．
∴双曲线的焦点坐标为（±2

2

，0），渐近线方程为：y=±

5

3

x=±

15

3

x，
整理得：

15

x±3y=0．
故答案为：（±2

2

，0），

15

x±3y=0．

点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得双曲线的标准方程是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．