题目内容
【题目】已知定点M（-3，0），Q、P分别是x轴、y轴上的动点，且使MP⊥PQ，点N在直线PQ上，
（1）求动点N的轨迹C的方程.
（2）过点T（-1，0）作直线l与轨迹C交于两点A、B，问：在x轴上是否存在一点D，使△ABD为等边三角形；若存在，试求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
设点N（x，y）、P（0，y′）、Q（x′，0）（x′>0）.
由
，得x′=
，x′=
.
由MP⊥PQ，得
故
为所求点N的轨迹C（去掉点（0，0））的方程.
（2）设
.
代入，得
.
由
，得
.
设A（
，
）、B（
，
）.则
假设存在点D（
，O），使△ABD为等边三角形.
又AB的中点为
，则边AB的中垂线方程为
由点D在此中垂线上得
设d为点D到直线
的距离.
由正三角形的条件有号
.
故
.
于是，存在点D（
，0），使△ABD为等边三角形.
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