Question

已知函数f(x)=log2

1+x

1-x

                                                
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（3）判断f（x）在的单调性，并用定义证明．
（4）求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接由对数式的真数大于0解分式不等式得函数的定义域；
（2）运用奇函数的定义，结合对数式的性质进行判断；
（3）利用函数单调性的定义，在作差后注意判断差式的真数与1的大小关系；
（4）把对数不等式转化为分式不等式求解．

解答：（1）解：要使函数有意义，应满足

1+x

1-x

＞0，
即（1-x）（x+1）＞0，
解得：-1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（-1，1）．
（2）函数f（x）是奇函数．
证明：函数f（x）的定义域为（-1，1）关于原点对称．
且f(-x)=log2

1+(-x)

1-(-x)

=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f(x)，
所以函数f（x）是奇函数．
（3）函数f（x）在（-1，1）上为增函数．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f(x2)-f(x1)=log2

1+x2

1-x2

-log2

1+x1

1-x1

=log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

．
因为-1＜x₁＜x₂＜1，
所以1-x₁＞1-x₂＞0；1+x₂＞1+x₁＞0
所以

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1，
所以log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
f（x₁）＜f（x₂）．
所以，函数f（x）在（-1，1）上为增函数．
（4）要使f(x)=log2

1+x

1-x

＞0，
则有

1+x

1-x

＞1，
∴

1+x

1-x

-1＞0，
∴

1+x-1+x

1-x

＞0，
∴x（x-1）＜0，解得：0＜x＜1，
∴使f（x）＞0的x的取值范围为（0，1）．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，要注意等价转化，此题是中档题．