Question

6．如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=$\frac{π}{2}$，AB=AC=$\sqrt{2}$，AA₁=3，D是BC的中点，点E在棱BB₁上运动．
（1）证明：AD⊥C₁E
（2）当三棱柱C₁-A₁B₁E的体积为$\frac{2}{3}$时，求二面角E-AD-B的大小．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC=$\sqrt{2}$，D是BC的中点，可得AD⊥BC，再利用直棱柱的性质可证：AD⊥平面BCC₁B₁，即可得出；
（2）由A₁C₁⊥A₁B₁，AA₁⊥A₁C₁，可得A₁C₁⊥平面A₁ABB₁，利用三棱柱C₁-A₁B₁E的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}×{A}_{1}{C}_{1}$=$\frac{2}{3}$．可得B₁E=2．由（1）可知：AD⊥平面BCC₁B₁，可得：∠BDE为二面角E-AD-B的平面角，在Rt△BDE中，利用tan∠BDE=$\frac{BE}{BD}$即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，
∵AB=AC=$\sqrt{2}$，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴BB₁⊥AD，
又BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵C₁E?平面BCC₁B₁，
∴：AD⊥C₁E．
（2）解：∵A₁C₁⊥A₁B₁，AA₁⊥A₁C₁，
A₁B₁∩AA₁=A₁，
∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁，
${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}$=$\frac{1}{2}{A}_{1}{B}_{1}×{B}_{1}E$=$\frac{\sqrt{2}}{2}{B}_{1}E$，
∵三棱柱C₁-A₁B₁E的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}×{A}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}{B}_{1}E×\sqrt{2}$=$\frac{2}{3}$．
∴B₁E=2．
由（1）可知：AD⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥BD，AD⊥DE，
∴∠BDE为二面角E-AD-B的平面角，
在Rt△BDE中，tan∠BDE=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{1}{1}$=1，
∴$∠BDE=\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了线面与垂直的判定与性质定理、直角三角形的性质、直棱柱的性质、三棱锥的体积计算公式、二面角，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．