Question

已知为常数，且，函数， 
（是自然对数的底数）．
（1）求实数的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，是否同时存在实数和（），使得对每一个，直线与曲线都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）当时，的单调增区间为，单调减区间为,当时，的单调增区间为，单调减区间为；(3) 当时，存在实数和，使得对每一个，直线与曲线都有公共点，可得.

试题分析：(1) 由可解得的值；（2）对函数求导可得，对进行讨论，解，分别可得单调递增与递减区间；（3）当时，，求出导数判断在的变化情况，得在区间内值域为，假设存在题目中要求的点，那么每一个，直线与曲线都没有公共点．
解： (1)由，得；             2分
（2）由（Ⅰ），．定义域为．      .3分
从而，                      ..4分
因为，所以
当时，由得，由得；5分
当时，由得，由得；6分
因而，　当时，的单调增区间为，单调减区间为， ..7分
当时，的单调增区间为，单调减区间为．     .8分
(3)当时，．．令，则．
当在区间内变化时，，的变化情况如下表：

		单调递减	极小值	单调递增

   10分
因为，所以在区间内值域为．  .11分
由此可得，
若，则对每一个，直线与曲线都有公共点，  .12分
并且对每一个，直线与曲线都没有公共点．  .13分
综合以上，当时，存在实数和，使得对每一个，直线与曲线都有公共点．  .14分