Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）求S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据题设条件知S₁=a₁=1，S₂=4a₂=

4

3

，S₃=9a₃=

3

2

，S₄=16a₄=

8

5

．
（2）猜想：Sn=

2n

n+1

，再用数学归纳法对这个猜想加以证明．

解答：解：（1）S₁=a₁=1
由题意知，S₂=4a₂，即a₁+a₂=4a₂
得a2=

1

3

，a1=

1

3

，∴S2=

4

3

.
同理得，S₃=9a₃，即S₂+a₃=9a₃
得a3=

1

8

，S2=

1

8

×

4

3

=

1

6

，∴S3=

3

2

S₄=16a₄，即S₃+a₄=16a₄
得a4=

1

15

S3=

1

15

×

3

2

=

1

10

，∴S4=

8

5

（4分）
（2）猜想：Sn=

2n

n+1

（7分）
证明：①当n=1时，S1=

2×1

1+1

=1，与已知相符，故结论成立（8分）
②假设当n=k时，结论成立，即Sk=

2k

k+1

（9分）
由已知有S_k+1=（k+1）²a_k+1=（k+1）²（S_k+1-S_k）．
整理得[(k+1)2-1]Sk+1=(k+1)2Sk，即Sk+1=

(k+1)2

k2+2k

Sk∴Sk+1=

(k+1)2

k2+2k

•

2k

k+1

=

2(k+1)

k+2

=

2(k+1)

(k+1)+1

（11分）
即当n=k+1时，结论也成立
综上①②知，对n∈N*，Sn=

2n

n+1

（12分）

点评：本题考查数列的性质和应用，第（1）问要注意递推公式的灵活运用，第二问要注意数学归纳法的证明技巧．