Question

过抛物线y²=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．求△AOB的重心G的轨迹C的方程．

Answer 1

分析：依题意可知抛物线的焦点坐标，当直线l不垂直于x轴时设出直线方程，代入抛物线方程，设点A、B的坐标根据韦达定理即可求得x₁+x₂的表达式，利用直线方程求得y₁+y₂的表达式，设△AOB的重心为G（x，y），则根据三角形重心的性质表示出G的横坐标和纵坐标，则x和y的关系可得，进而求得其轨迹方程；当l垂直于x轴时可求得A，B的坐标，进而求得三角形的重心的坐标，代入上边的所求的方程也适合，综合可知答案．

解答：解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x-1），代入y²=4x，
得k²x²-x（2k²+4）+k²=0．
设l方程与抛物线相交于两点，
∴k≠0．设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
根据韦达定理，有x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

，
从而y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

．
设△AOB的重心为G（x，y），
消去k，得x=

2

3

+

4

3

（

3

4

y）2，
则x=

0+x1+x2

3

=

2

3

+

4

3k2

，y=

0+y1+y2

3

=

4

3k

，
∴y²=

4

3

x-

8

9

．
当l垂直于x轴时，A、B的坐标分别为（1，2）和（1，-2），△AOB的重心G（

2

3

，0），也适合y²=

4

3

x-

8

9

，
因此所求轨迹C的方程为y²=

4

3

x-

8

9

．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．在涉及直线与圆锥曲线问题时，在设直线方程得时候一定要考虑到斜率不存在的情况．